求数列an的通项公式有哪些方法?
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①等差数列和等比数列有通项公式。
②累加法:用于递推公式为an+1=an+f(n),且f(n)可以求和。
③累乘法:用于递推公式为an+1/an=f(n) 且f(n)可求积。
④构造法:将非等差数列、等比数列,转换成相关的等差等比数列。
⑤错位相减法:用于形如数列由等差×等比构成:如an=n·2^n。
按一定次序排列的一列数称为数列,而将数列{an} 的第n项用一个具体式子(含有参数n)表示出来,称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样,通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法,通常是由其递推公式经过若干变换得到。
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等差数列的其他推论:
① 和=(首项+末项)×项数÷2;
②项数=(末项-首项)÷公差+1;
③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1);
④末项=2x和÷项数-首项;
⑤末项=首项+(项数-1)×公差;
⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。
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一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列,直接用其通项公式。
例:在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和,用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时,通常用转化的方法,先求出Sn与n的关系,再由上面的(二)方法求通项公式。
例:已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求数列{an}的通项公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,两边同除以SnSn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-}
是以-为首项,-1为公差的等差数列,∴-= -,Sn= -,
再用(二)的方法:当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时不适合此式,所以,
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子,常用累加、累积的方法求通项公式。
例:设数列{an}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求数列{an}的通项公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an
≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,这n-1个式子,将其相乘得:∴ -=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式,而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有
an(或Sn)的式子,使其成为等比或等差数列,从而求出an(或Sn)与n的关系,这是近一、二年来的高考热点,因此既是重点也是难点。
例:已知数列{an}中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式 (2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--,公比为--1的等比数列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--) ,于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),证明数列{an-n}是等比数列。
证明:本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1,可变形为an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式,则仍可以通过求出{an-n}的通项公式,再转化到an的通项公式上来。
又例:设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理为1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首项为1-a1,公比为--的等比数列,得an=1-(1-a1)(--)n-1
例:在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和,用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时,通常用转化的方法,先求出Sn与n的关系,再由上面的(二)方法求通项公式。
例:已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求数列{an}的通项公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,两边同除以SnSn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-}
是以-为首项,-1为公差的等差数列,∴-= -,Sn= -,
再用(二)的方法:当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时不适合此式,所以,
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子,常用累加、累积的方法求通项公式。
例:设数列{an}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求数列{an}的通项公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an
≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,这n-1个式子,将其相乘得:∴ -=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式,而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有
an(或Sn)的式子,使其成为等比或等差数列,从而求出an(或Sn)与n的关系,这是近一、二年来的高考热点,因此既是重点也是难点。
例:已知数列{an}中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式 (2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--,公比为--1的等比数列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--) ,于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),证明数列{an-n}是等比数列。
证明:本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1,可变形为an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式,则仍可以通过求出{an-n}的通项公式,再转化到an的通项公式上来。
又例:设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理为1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首项为1-a1,公比为--的等比数列,得an=1-(1-a1)(--)n-1
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一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列,直接用其通项公式。
例:在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和,用公式
S1
(n=1)
Sn-Sn-1
(n2)
例:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
(A)
9
(B)
8
(C)
7
(D)
6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8
∴k=8
选
(B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时,通常用转化的方法,先求出Sn与n的关系,再由上面的(二)方法求通项公式。
例:已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求数列{an}的通项公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,两边同除以SnSn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-}
是以-为首项,-1为公差的等差数列,∴-=
-,Sn=
-,
再用(二)的方法:当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时不适合此式,所以,
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子,常用累加、累积的方法求通项公式。
例:设数列{an}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求数列{an}的通项公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an
≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,这n-1个式子,将其相乘得:∴
-=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式,而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有
an(或Sn)的式子,使其成为等比或等差数列,从而求出an(或Sn)与n的关系,这是近一、二年来的高考热点,因此既是重点也是难点。
例:已知数列{an}中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式
(2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--=
(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--,公比为--1的等比数列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--)
,于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),证明数列{an-n}是等比数列。
证明:本题即证an+1-(n+1)=q(an-n)
(q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1,可变形为an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式,则仍可以通过求出{an-n}的通项公式,再转化到an的通项公式上来。
又例:设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理为1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首项为1-a1,公比为--的等比数列,得an=1-(1-a1)(--)n-1
例:在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和,用公式
S1
(n=1)
Sn-Sn-1
(n2)
例:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
(A)
9
(B)
8
(C)
7
(D)
6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8
∴k=8
选
(B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时,通常用转化的方法,先求出Sn与n的关系,再由上面的(二)方法求通项公式。
例:已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求数列{an}的通项公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,两边同除以SnSn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-}
是以-为首项,-1为公差的等差数列,∴-=
-,Sn=
-,
再用(二)的方法:当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时不适合此式,所以,
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子,常用累加、累积的方法求通项公式。
例:设数列{an}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求数列{an}的通项公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an
≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,这n-1个式子,将其相乘得:∴
-=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式,而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有
an(或Sn)的式子,使其成为等比或等差数列,从而求出an(或Sn)与n的关系,这是近一、二年来的高考热点,因此既是重点也是难点。
例:已知数列{an}中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式
(2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--=
(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--,公比为--1的等比数列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--)
,于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),证明数列{an-n}是等比数列。
证明:本题即证an+1-(n+1)=q(an-n)
(q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1,可变形为an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式,则仍可以通过求出{an-n}的通项公式,再转化到an的通项公式上来。
又例:设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理为1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首项为1-a1,公比为--的等比数列,得an=1-(1-a1)(--)n-1
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2014-06-14
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已知Sn的话,下标减一再相减,除此之外。累加,累乘。
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还有公式
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