Question

初三圆证明

如图所示，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，H为优弧AB中点连接HE　HF交AB与MN求证MN=½AB

Answer 1

图画得很漂亮~那我来提供一下思路吧。
首先呢，记圆心为O，记H到AB的垂足为K
做几何题呢，一般首先了解清楚它的生成方式。这个图可以看做一个圆和一个点P和一个点E(也可以看做是AE长度)生成的，因为这三个属性确定了之后，其他的点和线都会被确定。三个中缺少任何一个，都不能唯一确定。
（有一种方法叫做消点法。你可以查一查，通过考察图中点的生成方式，解决很多数学问题。对你可能有些超出了，留作兴趣。）
另一个角度看，也可以看做一个直角三角形OAP以及AP上的点E生成的。
为什么呢？因为对折后可以得到B点，沿着OP向左走OA的距离得到H点，将A以OE为对角线翻转得到A1,连接EA1延伸交BP于F。这样所有图中点都被唯一确定了。这样看来，图中并没有那个圆，是不是？（实际上圆的条件被AOP为直角，那次翻转涵盖在内了）
现在我们再看这个图，视野就更清晰了，关键在哪里，首先，AE的长度是一个决定要素，角AEO和角OEF相等、角EFO等于角BFO这些条件应当也是解题突破口。
下面设EF切圆于S。
角EOF=角EOS+角SOF=角AOE+角BOF，所以角EOP=（1/2）*角AOB=角AOP=角BOP=角BAP=角ABP （这么多角相等，应该能发现一些四点共圆的美妙性质）
现在回到原题，要证明MN=½AB，也就是证明MN=AK

最简单的想法，证明KN=AM（需要找全等了呀，然而我没找到）
第二个想法，既然AK=BK，只需证明AM/MK=NK/BN（这个很简单，你肯定明白）
用到AM/MK的话，M,K都是图中后来生出的点，所以不能刻画出图的本质属性，利用消点法的思想，将其转化为更元初的点的等价表示。过A做AT1平行HK交BE延长线于T1
。故AM/MK=AT1/HK
而AT1/HP=AE/EP
两式消去AT1。此时AM/MK的等价只用到了A,E,P,H,K（都是较原初的点了，K是A到OP垂足，可以说，这些点由三角形OPA和E唯一确定了，也即和原题图实质等价）
类似的处理NK/NB。
这时候，原题转化为只有A,E,P,H,K,F（F是处理NK/NB时引入的）的问题，心中应该有信心，做到这里是越来越接近问题本质了，肯定是做对了的。
接下来最关键的问题是看还有哪个点是冗余的呢？根据前文分析，F是多余的，因为一旦E确定，F就跟着确定了，所以BF/FP一定是可以用其他点的信息表出的。
最后一个要点就在这里，为了便于你看懂，BF/FP=三角形OBF面积/三角形OFP面积
由三角形面积公式，三角形OBF面积=（1/2）*OB*OF*sin角BOF，三角形OFP面积=（1/2）*OF*OP*sin角FOP
化简，并且注意到，角BOF=角BOP-角FOP=角FOE-角FOP=角POE
同理，角FOP=角AOE
这时候再化简AE/EP，对比AE/EP和BF/FP，相信你已经发现了问题的关键所在~
我写的可能过于繁琐了。这个解法有些复杂，并不直接，但希望能给你带来一些帮助。
欢迎继续提问~望采纳

追问

你能将这一步“这时候再化简AE/EP，对比AE/EP和BF/FP”到“MN=½AB”的具体具体具体过程描述一遍吗谢谢(⊙o⊙)哦

追答

AE/EP=三角形OAE面积/三角形EOP面积=OA*sin角AOE/（OP*sin角POE）=OB*sin角FOP/（OP*sin角BOF）=（OB/OP）*（sin角FOP/sin角BOF）

BF/FP=三角形OBF面积/三角形OFP面积=（OB/OP）*（sin角BOF/sin角FOP）
故（AE/EP）*（BF/FP）=（OB*OB）/（OP*OP）
原命题等价于AM/MK=NK/NB

(NK/BN=HK/BT2
BT2/HP=BF/FP)
等价于（HP/HK）*（AE/EP）=（HK/HP）*(FP/BF)
等价于（AE/EP）*（BF/PF）=（HK*HK）/（HP*HP）
等价于（OB*OB）/（OP*OP）=（HK*HK）/（HP*HP）
等价于OB/OP=HK/HP
等价于OB*HP=OP*HK
即 OB*（HO+OP）=OP*（HO+OK）
设半径为R
即 R*R+R*OP=OP*R+OP*OK
即R*R=OP*OK
即OK/R=R/OP
而OK/R=cos角AOP=R/OP，故原命题成立
证毕

追问

虽然我有一些看不懂。。。

Answer 2

最简方法：以hp为x轴,ab为y轴,切园的点e点f无论在pa、pb上如何移动，ef的长是定值=平行于ab的园切线e"f"的值。x轴上的点与平行于ab的园切线e"f"两端点的连线交y轴两点距离=1/2ab，x轴上的点到象限中与e"f"等长的园切线ef的两端点的连线交y轴两点距离也是定值。即证。

Answer 3

如图所示：

追问

图中字母上的一横是什么意思

追答

图中字母上的一横是表线段的长度。

Answer 4

HP 经过圆心O吧？

追问

对MN=½AB怎么证啊

追答

没有思路啊偶， 都扔了快20几年了。 蝴蝶，托勒密定理学没学过你们？

追问

学了