Question

已知数列{an}中,a1=1/2,且a(n+1)=an/2+(2n+3)/2^(n+1),n为正整数。

（1）令bn=(2^n) * an,求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn=an-(n^2-2)/2^n，求数列{cn}的前n项和Sn.

Answer 1

1、首先需要求出数列{an}的通项公式，那么剩下的就简单了！下面方法可以求解数列{an}的通项公式。

（当然，你也可以用数学归纳法求解数列{an}的通项公式，归纳法比较简单，这里就不说明。列举一个我自认为技巧性强一点的方法。）

由已知条件a(n+1)=[an/2]+[(2n+3)/2^(n+1)] 1式

可得到an=[a(n-1)/2]+[(2(n-1)+3)/2^n] 2式

然后把2式代入1式整理得：

a(n+1)=[a(n-1)/2^2]+[(2(n-1)+3)/2^(n+1)]+[(2n+3)/2^(n+1)]

再把a(n-1)用a(n-2)表示，然后代入上式，一直循环到a(n-(n-1))=a1

得到a(n+1)=[a1/2^n]+[(2*1-3) /2^(n+1)]+……+[(2n+3)/2^(n+1)]

=[1/2^(n+1)]+[((2+4+6+……+2n)+3n)/2^(n+1)]

=[n^2+4n+1])/[2^(n+1)]

n=0,1,2,3,4……

可以验证，当n=0时a(n+1)=[n^2+4n+1])/[2^(n+1)]=a1=1/2

或化为 an=[n^2+2n-2])/[2^n]

n=1,2,3,4……

2、这样令bn=(2^n) * an,求数列{bn}的通项公式就很简单了

bn=(2^n) * an = (2^n)*[n^2+2n-2])/[2^n]=n^2+2n-2

3、令cn=an-(n^2-2)/2^n，求数列{cn}的前n项和Sn

cn=an-(n^2-2)/2^n=[n^2+2n-2])/[2^n]-(n^2-2)/2^n=(2n)/(2^n)

数列{cn}的前n项和Sn，