Question

极坐标的二重积分公式怎么推

Answer 1

简单的说就是一个平面的面积放在不同的坐标里，前者是直角坐标，后者是极坐标中。它们的几何意义都是表示面积。dxdy很好理解。rdθ表示弧长，乘以dr，类似于长方形的长乘宽，因为是微元法

Answer 2

解：设x=rcosθ，y=rsinθ，∴D={(r,θ)丨0≤r≤1，0≤θ≤π/2}。　　∴原式=∫(0,π/2)dθ∫(0,1)√[1-r^2)/(1+r^2)]rdr。　　对∫(0,1)√[1-r^2)/(1+r^2)]rdr，令)√[1-r^2)/(1+r^2)]=tant，则r^2=cos2t，t∈[0,π/4]，　　∴∫(0,1)√[1-r^2)/(1+r^2)]rdr=∫(0,π/4)2(sint)^2dt=[t-(1/2)sin2t]丨(t=0,π/4)=π/4，　　∴原式=(π/4)∫(0,π/2)dθ=(1/8)π^2。供参考。

Answer 3

直角坐标与极坐标的关系是x＝rcosθ，y＝rsinθ.
首先r＝cosθ在直角坐标系下表示圆周x^2＋y^2＝x，所以0≤r≤cosθ表示圆域x^2＋y^2≤x.
其次，由0≤θ≤π/2得区域D是圆域x^2＋y^2≤x在第一象限的部分.

所以，在直角坐标系下，区域D＝｛（x,y）|x^2＋y^2≤x，y≥0｝

画图.

D可以表示为：0≤x≤1，0≤y≤√(x－x^2)
或0≤y≤1/2，1/2－√(1/4－y^2)≤x≤1/2＋√(1/4－y^2)