高等数学。 求解。谢谢
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求微分方程y'xlnx-y=1+ln²x满足y(e)=1的特解
解：先求齐次方程y'xlnx-y=0的通解：
分离变量得 dy/y=dx/(xlnx)
积分之得lny=∫dx/(xlnx)=∫d(lnx)/(lnx)=lnlnx+lnc=ln(clnx)
故y=clnx；将c改为x的函数u，得y=ulnx............(1)
将(1)两边对x求导得：y'=u/x+(lnx)u'............(2)
将(1)和(2)代入原式得：[u/x+(lnx)u']xlnx-ulnx=1+ln²x
化简得x(ln²x)u'=1+ln²x
分离变量得du=[(1+ln²x)/(xln²x)]dx
积分之得u=∫dx/(xln²x)+∫dx/x=∫d(lnx)/(ln²x)+lnx=-1/lnx+lnx+c
代入(1)式即得通解：y=lnx(-1/lnx+lnx+c)=-2+ln²x+clnx
再代入初始条件y(e)=1，得1=-2+1+c，故c=2.
于是得满足初始条件的特解为：y=ln²x+2lnx-2.
解：先求齐次方程y'xlnx-y=0的通解：
分离变量得 dy/y=dx/(xlnx)
积分之得lny=∫dx/(xlnx)=∫d(lnx)/(lnx)=lnlnx+lnc=ln(clnx)
故y=clnx；将c改为x的函数u，得y=ulnx............(1)
将(1)两边对x求导得：y'=u/x+(lnx)u'............(2)
将(1)和(2)代入原式得：[u/x+(lnx)u']xlnx-ulnx=1+ln²x
化简得x(ln²x)u'=1+ln²x
分离变量得du=[(1+ln²x)/(xln²x)]dx
积分之得u=∫dx/(xln²x)+∫dx/x=∫d(lnx)/(ln²x)+lnx=-1/lnx+lnx+c
代入(1)式即得通解：y=lnx(-1/lnx+lnx+c)=-2+ln²x+clnx
再代入初始条件y(e)=1，得1=-2+1+c，故c=2.
于是得满足初始条件的特解为：y=ln²x+2lnx-2.
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