已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),2a+3b+6c=0,求证：方程f(x)=0至少有一个根在（0，1)内
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(1) ∵a>0,依题意应有f(0)f(1)<0, 即c(a+b+c)<0
∵ 2a+3b+6c=0,
∴ a=(-3b/2)-3c>0, -b/2>c, -b/2-2c>-c,
而a+b+c=(-3b/2)-3c+b+c=(-b/2)-2c,
∴ c(a+b+c)=c[(-b/2)-2c]=-2c[(c+(b/4)],
若b>0,则c<-b/2<0, c+(b/4)=-b/4<0,
∴ c(a+b+c)<0,即(*)式成立.
若b<0,则0<c<-b/2,c+(b/4)=-b/4>0,
∴ c(a+b+c)<0即(*)式成立,
综上所述,当a>0时，f(0)f(1)<0成立, ∴ 方程有一根在0和1之间
∵ 2a+3b+6c=0,
∴ a=(-3b/2)-3c>0, -b/2>c, -b/2-2c>-c,
而a+b+c=(-3b/2)-3c+b+c=(-b/2)-2c,
∴ c(a+b+c)=c[(-b/2)-2c]=-2c[(c+(b/4)],
若b>0,则c<-b/2<0, c+(b/4)=-b/4<0,
∴ c(a+b+c)<0,即(*)式成立.
若b<0,则0<c<-b/2,c+(b/4)=-b/4>0,
∴ c(a+b+c)<0即(*)式成立,
综上所述,当a>0时，f(0)f(1)<0成立, ∴ 方程有一根在0和1之间
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