Question

求解答过程，谢谢啦！

Answer 1

该积分就是：∫（sinx/x）dx 在[0,π/2]的定积分估值。
当0<x<π/2时，
不等式sinx /x < 1即 sinx<x成立。
再用导数证明不等式：sinx /x > 2/π,

令f(x)=sinx -2x/π,
求导f'(x)=cosx-2/π 得驻点x0=arccos(2/π)，
讨论单调性，
当0<x<x0,f'(x)>0,
当x0<x<2/π,f'(x)<0,
又fmax=f(x0),f(0)=f(π/2)=0，
从而f(x)>0即sinx /x > 2/π得证.

∴当0<x<Pπ/2时, 2/π < sinx /x < 1
则 1<∫[0,π/2]（sinx/x）dx < π/2为所求定积分估值。

可将sinx展开成级数再估值。

解决办法就是把sinx展成无穷级数,然后逐项积分,其结果当然还是一个无穷级数，精度可人为指定： sinx=∑[n=1,∞](-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! ∫(sinx/x)dx=∫(1/x)(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+....)dx =∫(1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+......)dx =x-x^3/3(3!)+x^5/5(5!)-x^7/7(7!)+......+c

Answer 2

这个没原函数、、、实在没办法就把sinx用Taylor展开把、求和、、