Question

已知集合M时满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+1成立

1。函数f(x)=x^2是否属于集合M？说明理由；
2。函数f(x)=1/x是否属于集合M？说明理由;
3.若对于任意实数a,函数f(x)=b/(x+a)均属于集合M，试求实数b的取值范围。

Answer 1

1.
f(x+1)=f(x) +1
(x+1)^2=x^2+1
2x=0
x =0
f(x)=x^2 ∈ M
2.
f(x+1)=f(x) +1
1/(x+1) = 1/x + 1
= (x+1)/x
x=(x+1)^2
x^2+x+1 = 0
△ = 1-4=3 <0
=> no real root
y=1/x 不属于M
3.
f(x) = b/(x+a)
f(x+1) = f(x) +1
b/(x+a+1) = b/(x+a) + 1
= (b+x+a)/(x+a)
b(x+a)= (b+x+a)(x+a+1)
= (x+a)^2+(b+1)(x+a)+b
(x+a)^2+(x+a)+b = 0
△ = 1- 4b ≥ 0
b ≤ 1/4 #