Question

为什么只有正三边形,正四边形,正六边形可以单独密铺平面.

Answer 1

首先，用一种正边形铺满平面，得满足一个条件：
正边形单个内角的度数要能够被360°整除。
（一个平面内最大度数是360°）

正三边形：
正三边形单个内角的度数是60°，360除以60等于6，所以6个正三边形就可以铺成平面。（以正三边形的某个顶点为中心，旋转出来其余5个三角形）；

正四边形：
正四边形单个内角是90°，360除以90等于4，所以4个正四边形就可以铺成平面。（以正四边形的某个顶点为中心，旋转出来其余3个正四边形）；

正五边形：
至于正五边形以上的，要用到公式：
1.内角和：有一个专门的计算公式，N 边形的内角和=180*(N-2)
如，正5边形的内角和是:180*（5-2）=540；

2.知道内角和以后，除以正边形的边数（即有多少个角），得出单个内角的度数。
如，正五边形的内角和540，除以5，等于108,不能被360整除。所以，正五边形不能平铺。

正六边形
内角和：180*（6-2）=720，单个内角度数：720/6=120，可以被360整除，360除以120等于3，所以三个正六边形就可以铺成平面。（以正六边形的某个顶点为中心，旋转出来其余2正六边形）；

其他正边形
正边形边数再往上走，度数就越来越大，能被360°整除的只有1和2了，也就是内角度数只有180和360才能被360整除，但是正边形的内角再大，也是不可能超过180°的，所以，正七边形和它以上的的正边形就不可能铺成平面了。

所以经过上面的推算，只有正三边形、正四边形、正六边形可以铺成平面。