Question

高数8（3）求解

Answer 1

Answer 2

x²十（y-5）²=16
是一个圆，圆心x=0,y=5。半径4
绕x轴旋转之后，是一只玉镯子，截面中心是半径5的圆。
我们把玉镯子平放，用快刀平切成一片片薄片，每个薄片都是一个圆环，薄片厚度dx，面积是外圆面积-内圆面积。体积是面积×dx，
设薄片的位置为x
外圆半径=5十√（4²-x²）=5十√（16-x²）
内圆半径=5- √（16-x²）
体积=
∫（-4,4）{[ 5十√（16-x²） ]²-[ 5-√（16-x²） ]²}dx

追答

π
=π∫（-4,4）{4×5√（16-x²）}dx
=20π∫ （-4,4）{√(16-x²）}dx
设x=4sint
dx=4costdt

代入:
-π/2≤t≤π/2
20π∫（- π/2 , π/2 ）{4cost} 4costdt
=320π ∫（- π/2 , π/2 ）{cos²t}dt
=160π∫ ∫（- π/2 , π/2 ）（cos2t十1）dt
=160π[0.5sin2t十t] ∫（- π/2 , π/2 ）
=160π²