Question

求齐次方程满足所给初始条件的特解！！！求大神给解题过程，不会做，第5题的第一小题

Answer 1

求微分方程 (y²-3x²)dy+2xydx=0满足y(0)=1的特解。
解：两边同除以x²，得[(y/x)²-3]dy+2(y/x)dx=0
令y/x=u，得 (u²-3)dy+2udx=0; dy/dx=-2u/(u²-3)............(1);
y=ux；dy/dx=x(du/dx)+u..........(2)
将(2)代入(1)式得：x(du/dx)+u=-2u/(u²-3)
x(du/dx)=-2u/(u²-3)-u=(-u³+u)/(u²-3)
分离变量得：[(u²-3)/(-u³+u)]du=dx/x
积分之得lnx=-∫[(u²-3)/(u³-u)]du=-∫[(3/u)-1/(u-1)-1/(u+1)]du
=-[3lnu-ln(u-1)-ln(u+1)]+lnc=-ln[u³/(u²-1)]+lnc=ln[c(u²-1)/u³]
故x=c(u²-1)/u³；
于是得通解为y=ux=c(u²-1)/u²=c[(y/x)²-1]/(y/x)²=c(y²-x²)/y²
将初始条件y(0)=1代入得 c=1;
故满足初始条件的特解为： y=(y²-x²)/y²，或写成 y³-y²+x²=0.