Question

如图所示，在Rt三角形ABC中，

如图所示，在Rt三角形ABC中，AD平分角BAC，交BC于D，CH垂直于AB于H，交AD于F，DE垂直于AB垂足为E，求证：四边形CFDE是菱形

Answer 1

证明：

RT△ACB中，AD是∠BAC的平分线：

∠CAD=∠EAD

因为：DE⊥AB，CH⊥AB

所以：DE//CFH，∠ACD=∠AED=90°

因为：AD是公共斜边

所以：RT△ACD≌RT△AED（角角边）

所以：CD=ED

RT△ACD和RT△AHF中：

∠CAD=∠HAF

∠ACD=∠AHF=90°

所以：∠ADC=∠AFH

因为：∠AFH=∠CFD（对顶角相等）

所以：∠ADC=∠CFD

所以：CF=CD

所以：CF=CD=DE

因为：DE//CF

所以：CFED是菱形

Answer 2

证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵在Rt△ABC中，CH⊥AB于H，
∴∠1+∠AFH=90°，∠2+∠4=90°，
∵∠3=∠AFH，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴FC=CD，
∵DE⊥AB垂足为E，∠ACD=90°，∠1=∠2，
∴CD=DE，∴FC=DE，
∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴FC∥DE，
∴四边形CFED是平行四边形，
∵FC=CD，
∴四边形CFED是菱形．