Question

高等数学，无穷级数，敛散性

Answer 1

u(n+1)/u(n)
=e·(n+1)·n^n/(n+1)^(n+1)
=e·n^n/(n+1)^n
=e/(1+1/n)^n
∵(1+1/n)^n＜e
∴u(n+1)/u(n)＞1
∴u(n)单调递增，
∴u(n)≥u(1)=e
∴lim(n→∞)u(n)≠0
根据级数收敛的必要条件
∴∑u(n)发散。

追答

【附注】
在两个重要极限部分，
我们证明过，
数列{(1+1/n)^n}单调递增，
lim(n→∞)(1+1/n)^n=e
∴(1+1/n)^n＜e始终成立。