Question

已知函数f(x)对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x).1

求证：f(x)是R上的增函数

Answer 1

题目有点问题：应该是f（x）>1
证：令a=b=0代入得f（0+0）=f（0）+f（0）-1解得f(0)=1,
令a+b=0，即a=-b 代入得f（a-a）=f（a）+f（-a）-1化解得f（a）=f（-a）
所以当x≠0时，f（x）是奇函数，
当x>0时，令0<x1<x2，因为f(x2)-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）+1
因为x2>x1,所以x2-x1>0,即f（x2-x1）>1,得f（x2）-f(x1)>2>0，所以f（x）在（0，+∞）
上是增函数，又因为f（0）=1，的f（x）是奇函数，所以f（x）在R上是增函数。