Question

求解一道高二证明题

证明:三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c^2+=ab+ac+bc(a.b.c为三角形的三条边)

Answer 1

充分性：2（a^2+b^2+c^2）=2（ab+ac+bc）
(a-c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2=0
所以a-c=0,a-b=0,b-c=0
所以a=b=c
因此三角形是等边三角形
必要性：若三角形是等边三角形，那么a=b=c
必有a^2+b^2+c^2+=ab+ac+bc
所以三角形ABC是等边三角形的充要条件是a^2+b^2+c^2+=ab+ac+bc

Answer 2

证明：易知,(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2[(a²+b²+c²)-(ab+bc+ca)].(充分性===>)若a²+b²+c²=ab+bc+ca.===>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0.===>a-b=b-c=c-a=0.===>a=b=c.∴⊿ABC为等边⊿。（必要性,<===).若⊿ABC为等边⊿。===>a=b=c.===>(a²+b²+c²)-(ab+bc+ca)=0.===>a²+b²+c²=ab+bc+ca.