Question

设函数z=z(x,y)方程由x^y y^x z^x=1确定，求

z对x的偏导与z对y的偏导
上面写错了加号，原题为x^y+y^x+z^x=1

Answer 1

由隐函数的求导法则，
x^y+y^x+z^x=1 对x求导，y*x^(y-1)+y^x*ln(y)+z^x*[ln(z)+（z'_x)*x/z]=0, 于是
z'_x=-z*[x^y*y/x+y^x*ln(y)+z^x*ln(z)]/[z^x*x]，
同理可得：z'_y=-z*[x^y*ln(x)+y^x*x/y]/[z^x*x]。

追问

不要复制好吗？答案是-（yx(y-1)+z^xlnz)/(y^zlny+xz(x-1))

追答

从哪里复制？
在第一次求导的等式中出现了 z'_x，把它看成未知变量，用其它变量来表达他就是了。
最多就是多元函数求导时略微麻烦一点。y^x对x求导可以先变形为y^x=e^(x*ln(y))，再对x求导就容易了，z^x化为e^(x*ln(z))，后一个求导更为复杂。

至于我给出的结果为何与你给的答案不一致，那是因为你给出的等式是
x^y+y^x+z^x=1，
而不是x^y+y^z+z^x=1。
后者是一个轮换对称式，但是你给出的条件不是。