Question

求微分方程通解，第四小题

Answer 1

求微分方程2x³dy+y(y²-2x²)dx=0的通解
解：P=y³-2x²y，∂P/∂y=3y²-2x²；Q=2x³，∂Q/∂x=6x²；∂P/∂y≠∂Q/∂x，故不是全微分方程。
令nxP-myQ+xy(∂P/∂y-∂Q/∂x)=nx(y³-2x²y)-2mx³y+xy(3y²-8x²)=(n+3)xy³-(2m+2n+8)x³y=0
存在n=-3，2m-6+8=2m+2=0，m=-1；故有积分因子1/(xy³)；
用1/(xy³)乘原方程两边得：(2x²/y³)dy+[(1/x)-(2x/y²)]dx=0.............(1)
此时P=(1/x)-(2x/y²)，∂P/∂y=4x/y³；Q=2x²/y³，∂Q/∂x=4x/y³；故∂P/∂y=∂Q/∂x=4x/y³；
可知(1)是全微分方程。
(1)的左边是函数u=lnx-(x²/y²)的全微分。因为：
du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=[(1/x)-(2x/y²)]dx+(2x²/y³)dy
故lnx-(x²/y²)=C就是原方程的通解。
或写成lnx=(x²/y²)+lnC'，x=C'e^(x²/y²).(其中lnC‘=C，即C'=e^C)