大学数学高数
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设f(x)=(1+x)[ln(1+x)]^2-x^2,得f'(x)=[ln(1+x)]^2+ln(1+x)-2x
f''(x)=[2ln(1+x)]/(1+x)+1/(1+x)-2=[2ln(1+x)-1-2x]/(1+x)
令g(x)=2ln(1+x)-1-2x,可得g'(x)=2/(1+x)-2=-2x/(1+x)
0<x<1,可得g'(x)<0,f''(x)<0,那么f'(x)为减函数，f'(1)<f'(x)<f'(0)
即,(ln2)^2+ln2-2<f'(x)<0,那么f(x)也为减函数，f(1)<f(x)<f(0)
即,2(ln2)^2-1<f(x)<0,那么f(x)=(1+x)[ln(1+x)]^2-x^2<0
故(1+x)[ln(1+x)]^2<x^2,命题获证。
f''(x)=[2ln(1+x)]/(1+x)+1/(1+x)-2=[2ln(1+x)-1-2x]/(1+x)
令g(x)=2ln(1+x)-1-2x,可得g'(x)=2/(1+x)-2=-2x/(1+x)
0<x<1,可得g'(x)<0,f''(x)<0,那么f'(x)为减函数，f'(1)<f'(x)<f'(0)
即,(ln2)^2+ln2-2<f'(x)<0,那么f(x)也为减函数，f(1)<f(x)<f(0)
即,2(ln2)^2-1<f(x)<0,那么f(x)=(1+x)[ln(1+x)]^2-x^2<0
故(1+x)[ln(1+x)]^2<x^2,命题获证。
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