Question

高数中的等价无穷小要怎么证明

Answer 1

洛必达法则，[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1，那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限。

lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)

=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)

=lim(x->0) 2sinx/(2x)

=1

1- cosx ~ x^2/2

无穷小的性质：

1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

Answer 2

等价无穷小就是比值的极限趋于1。证明arcsinx / x的极限是1就可以了。用罗比达法则就行。

追问

罗比达法则是什么

追答

你们还没学吗？洛必达法则是求0/0型极限用的，这种极限比较棘手，不能直接用四则运算法则。我们可以对上下的函数求导，然后在求极限。因为导数通常比原函数简单许多，所以这个技术在求极限里很常用。

追问

我们还没学 但是我大概知道一点 所以除了洛必达法则没有其他办法吗

追答

那就还原吧，把x换成sint。

换元不是还原

Answer 3

解：证明：limx-0arcsinx=arcsin0=0
limx-0x=0
二者都是无穷小量。
limx-0 arcsinx/x
换元法：令t=arcsinx
sint=sinarcsinx=x
x-0,t-arcsin0=0,t-0
limt-0 t/sint
lmt-0 t=0
limt-0 sint=sin0=0
分子分母都趋向于0
0/0型
洛必达法则。
1/cost(t-0)=1/cos0=1/1=1
所以limx-0arcsinx/x=1
arcsinx~x

Answer 4

可能过时了