Question

证明x∧5＋1=0只有一个实数根

Answer 1

x^5-1=(x-1)(x^4+x³+x²+x+1)=0
显然x=1是一个实根
因此只要证明x^4+x³+x²+x+1=0没有实根即可.
当x=0时,上式左右两边不等,因此x=0不是方程的根
当x≠0时,对上式左边进行因式分解.
x^4+x³+x²+x+1
=x²(x²+2+1/x²+x+1/x-1)
=x²[(x+1/x)²+(x+1/x)+1/4-5/4]
=x²[(x+1/x+1/2)²-5/4]
∵x≠0,∴x²>0
x+1/x+1/2≥2√(x*1/x)+1/2=5/2,当且仅当x=1/x,即x=±1时取等号.
∴(x+1/x+1/2)²≥25/4>5/4
即(x+1/x+1/2)²-5/4>0
∴考虑x=0时左边=1>0,可知对任意实数x,x^4+x³+x²+x+1>0恒成立
即x^4+x³+x²+x+1=0无实根
∴原方程有且只有一个实根.

Answer 2

利用函数的单调性证明，最为直观
设f(x)=x∧5＋1
则 f'(x)=5x∧4≥0
∴f(x)=x∧5＋1在R上单调递增
∵f(-2)＜0； f(1)＞0
∴必存在一点a∈[-2,1]，使f(a)=0
∴x∧5＋1=0只有一个实数根

Answer 3

求导的4倍x的4次方恒大于等于0，所以函数是单调递增的，x等于-2时小于0，x等于1时大于零，由零点存在定理可知有实根，又因为单调所以只有一个实数根

Answer 4

∵ x∧5＋1=0
∴ x∧5=-1
∵ 一个负数的奇数次幂是负数
∴ x是一个负数，即x=5次根号-1=-1

Answer 5

x等于-2时小于0，x等于1时大于零，由零点存在定理可知有实根，又因为单调所以只有一个实数根