Question

反常积分敛散性判别

Answer 1

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大。

拓展资料

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

参考资料：反常积分百度百科

Answer 2

需要说明的是  题主所给的两个积分都是反常积分 

并且需要考虑两个部分：

1. 在1附近的邻域中  被积函数会趋向于+∞

2. 积分上限是+∞，因此积分区间无界

我们把每个函数都分成两部分来积：

其中5这个数字是我随便取的

根据一开始的积分公式

对于第一个函数：第一个极限显然是有界的，但第二个极限无界

对于第二个函数：第一个极限有界，第二个极限也有界

所以综合来看第一个发散，第二个收敛

但这与题主所说在x→1+时为等价无穷大不矛盾

因为在1的邻域附近的反常积分求出来确实是有限的

问题出在后面无穷大的积分区间上

才有了收敛与发散的区别

追问

谢谢，明白了。还想问一下，在趋向于1的过程中，第一个的分母为什么不能直接看成X的一次方，从而发散。

哦，搞错了。。。不等价。

追答

如果把x²-1变成(x+1)(x-1) 在x趋近于1的时候也只能看成根号(x-1)分之1啊

追问

谢谢。。。相似的题目一起在做，把趋向弄混了。

Answer 3

要判断无穷积分∫(-∞,+∞)f(x)dx的敛散性
首先应该任取定a∈(-∞,+∞)
然后讨论：
∫(-∞,a)f(x)dx
∫(a,+∞)f(x)dx
二者的敛散性
在这个时候要特别注意：
∫(-∞,a)f(x)dx=lim (u→ -∞)∫(u,a)f(x)dx
∫(a,+∞)f(x)dx=lim (t→ +∞)∫(a,t)f(x)dx
在取极限的时候，二者不能用同一个指标（一定要分开，用两个指标u,t）

为什么要这样做？？？
先看定义：
设函数f在R的任一子区间上可积，取a∈(-∞,+∞)，若 ∫(-∞,a)f(x)dx 和 ∫(a,+∞)f(x)dx 都收敛，
则称∫(-∞,+∞)f(x)dx收敛且：∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,a)f(x)dx + ∫(a,+∞)f(x)dx
从定义中可以看到：∫(-∞,a)f(x)dx 和 ∫(a,+∞)f(x)dx 二者并无绝对的联系
可说二者互不干涉，因此对指标的选定一定要作出区分！！！
所以题目中用同一个R来做指标是不对的

从另一个角度来看
上述定义中说到：函数f在R的任一子区间上可积
而我们用同一指标根本不能满足定义所说的任一子区间
既然连定义的条件都不能满足，更不要说收敛了~~

有不懂欢迎追问