Question

线性代数，打勾的那题

Answer 1

(3) 当 n 是奇数时， n+1 是偶数，
交换 1， n+1 行； 2， n 行； ... , (n+1)/2, (n+3)/2 行，
交换了 (n+1)/2 次，
再交换 1， n+1 列； 2， n 列； ... , (n+1)/2, (n+3)/2 列，
交换了 (n+1)/2 次。
行列式变为 n+1 阶范德蒙行列式， 则
D = (-1)^(n+1) [1*2*...*n )][1*2*...*(n-1)] ...... *(1*2)*1
= n! (n-1)! ...... *2*1 = (n!)!

当 n 是偶数时， n+1 是奇数，
交换 1， n+1 行； 2， n 行； ... , n/2, (n+2)/2 行，
交换了 n/2 次，
再交换 1， n+1 列； 2， n 列； ... , n/2, (n+2)/2 列，
交换了 n/2 次。
行列式变为 n+1 阶范德蒙行列式， 则
D = (-1)^n [1*2*...*n )][1*2*...*(n-1)] ...... *(1*2)*1
= n! (n-1)! ...... *2*1 = (n!)!

总有 D = (n!)!

Answer 2

1）经过行交换，使行列式成标准《范德蒙》。需要交换n(n+1)/2次；
D=[(-1)^(n^2+n)/2]*|1 1 ..... 1|
a a-1 ..... a-n
............
2)按《范德蒙》公式展开化简、整理
={(-1)^[(n^2+n)/2]}*(a-n-a+n-1)(a-n-a+n-2)...(a-n-a)*(a-n+1-a+n+2)*......*(a-1-a)

={(-1)^[(n^2+n)/2]}*{[(-1)^n]*n!}*{[(-1)^(n-1)]*(n-1)!}*......*(-1)
=∏i! 【i=1 to n】