Question

请教一道关于对数函数的数学题 高分！

图上的例5

Answer 1

函数f(x)=ln(a^x-kb^x)，(k>0，a>1>b>0)，

∵函数的定义域为（0，＋∞），
∴a^x-kb^x>0的解集恰为（0，＋∞），（注意关键词：恰为）
∴当x=0时，a^x-kb^x= a^0-kb^0 =0，
即1-k=0，∴k=1，
因此，f(x)= ln(a^x-b^x)，(a>1>b>0)；

∵函数f(x)恰在（1，＋∞）内取正值，
∴f(1)=0，
即ln(a-b)=0，
∴a-b=1，a=b+1，
f(x)=ln[(b+1)^x-b^x]，(0<b<1)；

∵f(3)=ln4，
∴ln[(b+1)^3-b^3]=ln4
(b+1)^3-b^3=4
(b^3+3b^2+3b+1)-b^3=4
3b^2+3b-3=0
b^2+b-1=0
解一元二次方程得，
b=(-1±√5)/2，
∵0<b<1，
∴b=(√5-1)/2，
此时a=b+1=(√5+1)/2，

故存在实数a=(√5+1)/2，b=(√5-1)/2符合题意.

Answer 2

由已知得:当x>0时,a^x>kb^x即k<(a/b)^x,从而x=0时,k=(a/b)^x=1
f(x)在(1,+∞)为正表示:x>1时,a^x-b^x>1,即x=1时a-b=1,
f(3)=ln4可得:ln((b+1)^3-b^3)=ln4,所以(b+1)^3-b^3=4,所以
3b^2+3b+1=4,从而b^2+b-1=0,所以b=(-1+根号5)/2,(取正值)
a=b+1=(1+根号5)/2

Answer 3

∵函数的定义域为（0，＋∞），
∴a^x-kb^x>0的解集恰为（0，＋∞），（注意关键词：恰为）
∴当x=0时，a^x-kb^x= a^0-kb^0 =0，
即1-k=0，∴k=1，
因此，f(x)= ln(a^x-b^x)，(a>1>b>0)；

∵函数f(x)恰在（1，＋∞）内取正值，
∴f(1)=0，
即ln(a-b)=0，
∴a-b=1，a=b+1，
f(x)=ln[(b+1)^x-b^x]，(0<b<1)；

∵f(3)=ln4，
∴ln[(b+1)^3-b^3]=ln4
(b+1)^3-b^3=4
(b^3+3b^2+3b+1)-b^3=4
3b^2+3b-3=0
b^2+b-1=0
解一元二次方程得，
b=(-1±√5)/2，
∵0<b<1，
∴b=(√5-1)/2，
此时a=b+1=(√5+1)/2，

故存在实数a=(√5+1)/2，b=(√5-1)/2符合题意.