Question

高二数学！！！！ 在线等、、 需详细过程

已知顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长是5√3，一条直角边所在直线的方程是y=2x，求抛物线的方程

Answer 1

顶点在原点,焦点在x轴正半轴,设抛物线方程为 y^2=2px
一条直角边所在直线的方程是y=2x,其斜率为2
直角顶点在原点，那么另一条直角边所在直线的斜率为-1/2
所以另一条直角边所在直线的方程为 y=-x/2
把两条直线分别代入抛物线方程
解得它们与抛物线的两个交点分别为
(p/2,p)(8p,-4p)
斜边为5√3
根据两点间的距离公式
(p/2-8p)^2+(p-(-4p))^2=(5√3)^2
解得p=-2√39/13(舍弃),p=2√39/13
所以抛物线的解析式为
y^2=4√39x/13