Question

已知抛物线M： y2=2px （ p＞0 ）上一个横坐标为3 的点到其焦点的距离为4. 过点P （

2，0 ）且与x 轴垂直的直线l1与抛物线M 相交于A， B 两点， 过点P 且与x 轴不垂直的直线l 2与抛物线M 相交于C， D 两点， 直线BC 与DA相交于点E.（Ⅰ）求抛物线M 的方程；（Ⅱ） 请判断点E 的横坐标是否为定值？若是， 求出此定值；若不是， 请说明理由．

Answer 1

抛物线C：y^2=-2px（p＞0）开口向左，对称轴为x轴
横坐标x=-3上的点到其焦点的距离为4，则到准线x=p/2的距离也是为4
所以：p/2-（-3）=4
解得：p=2
y^2=-4x
直线y=k（x+2）恒过定点（-2，0），为抛物线的焦点F
联立可得：y^2=（k^2）（x+2）^2=-4x
整理得：（k^2）x^2+4（k^2+1）x+4k^2=0
根据韦达定理有：
x1+x2=-4（k^2+1）/k^2=-4-4/k^2
x1*x2=4
x轴是∠AMB的平分线，则直线MB和MA的斜率互为相反数
设点M为（m，0）
依据题意有：kmb=-kma
（y1-0）/（x1-m）=-（y2-0）/（x2-m）
k（x1+2）/（x1-m）=-k（x2+2）/（x2-m）
显然，k=0时，y=0与抛物线仅有一个交点，不符合题意
所以：（x1+2）/（x1-m）=-（x2+2）/（x2-m）
x1x2-mx1+2x2-2m=-x1x2-2x1+mx2+2m
2x1x2-（x1+x2+4）m+2（x1+x2）=0
8-（-4/k^2）m-8-8/k^2=0
所以：4m/k^2-8/k^2=0
所以：4m-8=0时恒成立
解得：m=2
所以：定点M为（2，0）