Question

已知函数f(x)=3^x-2^-x/3^x+2^-x （1）判断f(x)的单调性并加以证明。（2）f(x）的值域

已知函数f(x)=3^x-2^-x/3^x+2^-x （1）判断f(x)的单调性并加以证明。（2）f(x）的值域

Answer 1

解：（判断的过程：上下同除以3^x，则f（x)=(1-6^-x)/(1+6^-x)=(2-1-6^-x)/(1+6^-x)=[2/(1+6^-x)]-1,x增，则6^-x减，1+6^-x减，则函数为增函数）
（1) f(x)为增函数。
证明：f（x)=(1-6^-x)/(1+6^-x)=(2-1-6^-x)/(1+6^-x)=[2/(1+6^-x)]-1
x定义域为R，设有x1>x2
则f(x1)-f(x2)=[2/(1+6^-x1)]-1-[2/(1+6^-x2)]+1
=2/(1+6^-x1)-2/(1+6^-x2)
=2(1+6^-x2-1-6^-x1)/[(1+6^-x1)(1+6^-x2)]
=2(6^-x2-6^-x1)/[(1+6^-x1)(1+6^-x2)]
x1>x2,则6^-x2-6^-x1>0, 又[(1+6^-x1)(1+6^-x2)]>0
f(x1)-f(x2）>0,即f(x1)> f(x2）
所以f(x)为增函数
（2) f（x)=[2/(1+6^-x)]-1
6^-x>0 1+6^-x>1 f(x)<2/1-1
即f（x）值域为（负无穷，1）