Question

已知f（x）是定义在【-1,1】上的奇函数

已知f（x）是定义在【-1,1】上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈【-1,1】
a+b≠0 有（f（a）+f（b））/a+b >0成立
1.判断函数f(x)在【-1,1】上的单调性,并证明你的结论
2.解不等式f(x+1/2)<f(1/4 -x)

Answer 1

判断f（1）=1，奇函数，则f（-1）=-1，从特殊点来看应该是增函数
解：1，f（x）在【-1,1】为增函数
证明：设x1，x2∈【-1,1】，且x1>x2
f(x1)-f(x2)=f（x1）+f（-x2）
x1>x2，则x1+(-x2)>0
则[f（x1）+f（-x2）]/[x1+(-x2)]>0
所以f（x1）+f（-x2）>0
即f(x1)>f(x2)
f（x）在【-1,1】为增函数
2. 由题意
x+1/2>=-1
1/4 -x<=1
x+1/2<1/4 -x
解得x范围[-3/4,-1/8) (计算过程略）

Answer 2

因为f(x)为奇函数
所以f(x)=-f(-x)
取-1<x1<x2<=0
显然
x1+x2不等于0
x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
又由(f(m)+f(n))/(m+n)>0
所以(f(x1)+f(-x2))/(x1-x2)>0
因为(x1-x2)<0
所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)<0
所以f(x)在[-1,0]上为增函数
同理
f(x)在[0,1]上为增函数
因为有公共点0
所以f(x)在定义域上为增函数
所以利用这一
性质
可以解决(1)(2)题
(1)因为f(x+1/2)<f(1/(x-1))
所以-1<x+1/2<1/(x-1)<1
自己解
(2)因为f(x)在定义域上为增函数
所以Fmax=f(1)=1
所以4^t-3*2^t+3>=1
自己解