Question

大学微积分课后习题

1、lim（sin 根号x - sin 根号1+x） 当x趋向于正无穷的时候，极限为0，如何证明？
2、lim 1/x * arctanx 当x趋向于正无穷的时候，极限为0，如何证明？
3、lim lnx * sin1/(x-1) 当x趋向于1的时候，极限为0，如何证明？

Answer 1

追问

第一题最后那里能否解释一下？

追答

余弦函数值的绝对值|cosx|小于或等于1，正弦函数的绝对值|sinx|小于或等于|x|

追问

正弦函数的绝对值|sinx| 不是应该在-1~1这个区间吗，为何小于或等于x的绝对值？

追答

当然正弦函数的绝对值|sinx| 在-1~1这个区间，当x在[-1, 1]是，sinx介于[-|x|，|x|]

追问

还是不太懂，是用等价无穷小x~sin x 吗？

追答

mlv6

Answer 2

1. ∵lim(x->+∞)[√(1+x)-√x]=lim(x->+∞)[(1+x-x)/(√(1+x)+√x)]  (有理化分子)
                                            =lim(x->+∞)[1/(√(1+x)+√x)]
                                            =0
         ∴lim(x->+∞)│sin((√(1+x)-√x)/2)│=0
         ∵│cos((√(1+x)+√x)/2)│≤1
         又│sin(√(1+x))-sin(√x)│=│2*cos((√(1+x)+√x)/2)*sin((√(1+x)-√x)/2)│  (应用和差化积公式)
                                              ≤2│sin((√(1+x)-√x)/2)│
         ∴-2│sin((√(1+x)-√x)/2)│≤sin(√(1+x))-sin(√x)≤2│sin((√(1+x)-√x)/2)│
                ==> 0≤lim(x->+∞)[sin(√(1+x))-sin(√x)]≤0
          故 lim(x->+∞)[sin(√(1+x))-sin(√x)]=0。

2. 因为x趋向无穷 arctanx=π2，

3. lim [x→1] [1/(x-1) - 1/lnx]
   通分
   =lim [x→1] (lnx-x+1)/[(x-1)lnx]
   lnx=ln(1+x-1)等价于x-1，分母的lnx换为x-1
   =lim [x→1] (lnx-x+1)/(x-1)²
   洛必达法则
   =lim [x→1] (1/x - 1)/[2(x-1)]
   =lim [x→1] (1-x)/[2x(x-1)]
   =lim [x→1] -1/(2x)
   =-1/2
   

追问

1、lim(x->+∞)[1/(√(1+x)+√x)]=0 ∴lim(x->+∞)│sin((√(1+x)-√x)/2)│=0
有理化分子为何能够脱离sin独立有理化？
而且我说的是lim（sin 根号x - sin 根号1+x），可是你的结论为lim(x->+∞)[sin(√(1+x))-sin(√x)]=0 ？
2、我用的方法是arctanx 无穷小量等价替换为x,求得最后极限值为1.错在哪里？

追答

1的我还是不知道你那里不懂，2中arctanx当x趋向无穷等于二分之π，不能等价替换