Question

求下图中的全微分方程

Answer 1

试确定常数λ，是微分方程 xydx+(1/2)(x²+y)^λdy为全微分方程，并求出满足y(0)=2的特解

解：P=xy，∂P/∂y=x；   Q=(1/2)(x²+y)^λ，∂Q/∂x=λx(x²+y)^(λ-1);

如果该方程是全微分方程，则有 x=λx(x²+y)^(λ-1)，可见：λ=1.

即方程为：xydx+(1/2)(x²+y)dy=0

其通解u(x，y):

代入初始条件x=0，y=2 得C=1；故满足条件的特解为：(1/2)x²y+(1/4)y²=1.

Answer 2

解：若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).
根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P'(y)=Q'(x),在G内恒成立.
过程如下：令P(x,y)=xy；Q(x,y)=1/2(x^2+y)^λ
已知xydx+[1/2(x^2+y)^λ]dy=0是全微分方程，所以P'(y)=Q'(x)
求得P'(y)=x； Q'(x)=λ[(x^2+y)^(λ-1)]x
因为P'(y)=Q'(x)，所以λ=1。
所以u(x,y)=∫[0,y][1/2(x^2+y)]dy =0.5x^2y+0.25y^2
所以全微分方程为0.5x^2y+0.25y^2=C，又因为题目条件y(0)=2,所以C=2.
即此时全微分方程为0.5x^2y+0.25y^2=2.