Question

在三角形ABC中，∠ACB=90度，AC=BC，D为AC上一点，AE垂直于BD的延长线于E，且2AE=BD，求证：BD平分∠ABC

Answer 1

证明:延长AE交BC的延长线于M,

在△BCD和△ACF中

∵∠BCD=∠ACM=90°

BC=AC

∠CBD=∠CAM,

∴△BCD≌△ACF(ASA)

∴BD=AM

又2AE=BD，

∴AE=EM

∵AE⊥BD

∴BE垂直平分AM

∴BD平分∠ABC

Answer 2

证明:延长AE交BC的延长线于F,
在△BCD和△ACF中
∠BCD=∠ACF=90,
BC=AC
∠CBD=∠CAF,
所以△BCD≌△ACF(ASA)
∴BD=AF
又2AE=BD，
∴AE=EF
又AE垂直于BD的延长线于E
所以BE垂直平分AF,
∴BD平分∠ABC

Answer 3

做AE的延长线至G使得EG=AE，连结GC
∵2AE=BD∴AG=BD
∵∠AEB=∠DCB ∠ADE=∠BDC
∴△ADE∽△BDC ∴∠EAD=∠CBD 即∠GAC=∠DBC
又∵AG=BD AC=BC
∴△GAC≌△DBC
∴∠ACG=∠BCD=90°
∴∠GCB=180°即G，C，B在同一直线上
∵BE为△BAG的高 且平分AG于点E
∴△BGA为等腰三角形
∴BD平分∠ABG
即BD平分∠ABC

Answer 4

此题目百度上早就有了，我不作答了太假了！