Question

抛物面z=x^2+y^2 被平面 x+y+z=1截成一个椭圆, 求椭圆到原点的最长与最短距离（用Lagrange乘子法

抛物面z=x^2+y^2 被平面 x+y+z=1截成一个椭圆, 求椭圆到原点的最长与最短距离（用Lagrange乘子法，在matlab中解。求代码

Answer 1

构造拉格朗日函数

求拉格朗日函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数
>> clear; syms x y z u v
>> l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);
>> diff(l,x)
ans =
2*x+2*u*x+v
>> diff(l,y)
ans =
2*y+2*u*y+v
>> diff(l,z)
ans =
2*z-u+v
>> diff(l,u)
ans =
x^2+y^2-z
>> diff(l,v)
ans =
x+y+z-1
得

再解正规方程
>> clear;
>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')
x =
[ -1]
[ -1]
[ -3+5/3*3^(1/2)]
[ -3-5/3*3^(1/2)]
y =
[ 0]
[ 0]
[ -7+11/3*3^(1/2)]
[-3-5/3*3^(1/2)]
z =
[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)]
[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)]
[ -1/2+1/2*3^(1/2)]
[ -1/2-1/2*3^(1/2)]
u =
[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)]
[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)]
[ -1/2+1/2*3^(1/2)]
[ -1/2-1/2*3^(1/2)]
v =

[ -1/2]
[ -1/2]
[ 2-3^(1/2)]
[ 2+3^(1/2)]
得
上面就是拉格朗日函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集，上连续，从而存在最大值与最小值），故由

求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为，最短距离为。

Answer 2

呀，是立体几何