Question

高中数学，绝对值不等式

高中数学，绝对值不等式为什么a≠-1时，f(x)min=f(a) ?
可以分类讨论去掉绝对值号变分段函数但那太麻烦了，有没有简便的方法直接看出？

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Answer 1

有的.以前我做这些小题的时候最喜欢画图了

这里不方便画图 且听我引导

1. 请画出y1=|x|的图象

2. 继续画一下y2=|x+1|, y3=|x-2|, y4=|x+3|的图象,有何启发?

3. 画出y5=|x+a|,y6=|x-b|的图象

4. 以上让你画的图依次称为图1到图6,可以知道图1到4都是确定的 图5图6要根据a,b再具体确定,但不影响分类讨论作出简图

5. 画出f1=y2+y3,f2=y3+y4的图象

6. 想想以上一步你是怎样作图的,以f2为例,看看可不可以在同一坐标系分别画出y3,y4的图象,然后对同一个x事实上可以确定具体的y2,y3的值,它们两个的和记为Y,在这张坐标系里作出点(x,Y),多取几个x,多作几个点 是不是很容易发现规律

7. 请你再自己构造几个不带参数的如f1,f2形式的函数并用第6步的方法尝试作图并发现规律

8. 好了,尝试一下f3=y2+y5如何作图

9. 再尝试如下函数的作图h1=2x,h2=-3x,h3=5x,g1=|2x|,g2=|3x|,g3=|5x|

10. 再尝试一下函数u1=-2|x|,u2=3|x|,u3=5|x|*(-1)^([x])(取整函数[x])的作图

11. 如果熟练了 应该可以轻易作出y=k|x|,或y=|kx|等的图象 请总结规律并熟练

12. 现在请作出题目中函数的图象吧 这里提一下作图不一定要知道具体的数值变化规律,只需作出走势,遇到需要时再具体确定

13. 其实很简单,熟练了图也不用作,加油.

Answer 2

先解释为什么 f(x)min = f(a)：

若 a ≠ -1，则

f(x) = |x+1| + 2|x-a| 的几何意义是：

f(x) = [x 到 -1 的距离] + [二倍的 x 到 a 的距离]

因此，当 x 逐渐向 a 靠近时，x 到 a 的距离成二倍得减小，x 到 -1 的距离成一倍得增大，所以f(x) 整体是在减小

所以，当 x 与 a 重合时，f(x) 取得最小值 5，也就是：

f(x)min = f(a) = 5

－－－－－－－－－－－

对一般的情况来说：

f(x) = a|x-b| + c|x-d|

其中 a, b, c, d 都是实数，而且 a, c > 0

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那么，简便方法就是：

(1) 若 a ≥ c，则 f(x)min = f(b)；

(2) 若 a < c，则 f(x)min = f(d)；

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(原理和上方的一样)

Answer 3

高中数学:含绝对值不等式的求解