Question

高一数学第十八题

Answer 1

设a_n+p*a_{n-1}=q*(a_{n-1}+p*a_{n-2})，p和q属于实数

刚才设的关系式要满足题目的要求，

于是有

q-p=1/3,pq=2/3

解得p=2/3,q=1 和 p=-1,q=-2/3

选用负的这组（因为后面要错项相减）

于是有a_n-a_{n-1}=-2/3*(a_{n-1}-a_{n-2})

设b_n=a_{n+1}-a_n,(n为正整数)

b_1=a_2-a_1=1

b_n=-2/3*b_{n-1}

b_n=(-2/3)^(n-1)

于是a_{n+1}-a_n=(-2/3)^(n-1)

设a_n的前n项和为S_n

对a_{i+1}-a_i=(-2/3)^(i-1)左右的i从1到n求和(右边是个等比数列求和)

得到S_{n+1}-a_1-S_n=(1-(-2/3)^n)/(1+2/3)

**注**这里写成的前n项和的形式，但是其实就是错项相减

S_{n+1}-1-S_n=(1-(-2/3)^n)*3/5

a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=(1-(-2/3)^n)*3/5+1=8/5-3/5*(-2/3)^n

a_{n}=8/5-3/5*(-2/3)^(n-1)=8/5+9/10*(-2/3)^n  (n为正整数)