Question

如图,AB为圆O的直径,CD⊥AB于点E,交圆O于C、D两点,OF⊥AC于点F

（1）请写出三条与BC有关的结论
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积。

Answer 1

解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①BC=BD ；②OF‖BC ；③∠BCD=∠A ；④△BCE∽△OAF ；⑤ BC^2=BE·AB；⑥ BC^2=CE^2+BE^2；⑦△ABC 是直角三角形；⑧ △BCD是等腰三角形．
（2）连结OC，则 OC=OA=OB．
∵∠A=30°
∴∠A=∠D=30°
∴∠AOC=120°
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，BC=1
∴AB=2
由勾股定理得AC=√3
∵OF⊥AC
∴AF=CF
∵OA=OB
∴OF是△ABC的中位线
∴OF=1/2BC=1/2
∴S△AOC=AC/2·OF=1/2×√3×1/2=√3/4
S扇形AOC=π/3×OA^2=π/3
∴S阴=S扇形AOC-S△AOC=π/3-√3/4

Answer 2

解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①BC=BD ；②OF‖BC ；③∠BCD=∠A ；④△BCE∽△OAF ；⑤ BC^2=BE·AB；⑥ BC^2=CE^2+BE^2；⑦△ABC 是直角三角形；⑧ △BCD是等腰三角形．
（2）连结OC，则 OC=OA=OB．
∵∠A=30°
∴∠A=∠D=30°
∴∠AOC=120°
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，BC=1
∴AB=2
由勾股定理得AC=√3
∵OF⊥AC
∴AF=CF
∵OA=OB
∴OF是△ABC的中位线
∴OF=1/2BC=1/2
∴S△AOC=AC/2·OF=1/2×√3×1/2=√3/4
S扇形AOC=π/3×OA^2=π/3
∴S阴=S扇形AOC-S△AOC=π/3-√3/4

Answer 3

1)
根据射影定理（相似）：BC^2=BE*AB
根据勾股定理：BC^2=AB^2-AC^2
BC=BD
2)∠D=∠CAB=30°，BC=OA=OC=1
所以扇形OAC面积是π/3
又因为三角形OAC面积是3^(0.5)/4
所以圆中阴影部分的面积=扇形OAC面积-三角形OAC面积=π/3-3^(0.5)/4