Question

高中立体几何-武汉市2018届高三起点调研第12题

12、设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ ）A五分之二倍的根号五 B二分之根号二 C 1 D 三分之根号六答案是A，我需要详细的解答过程和分析。一个平面和另外两个平面所成的锐二面角相等这样一类题目一般怎么去思考? 急急急，谢谢！

Answer 1

二面角，分别在两个平面内作两平面交线的垂线，这两条垂线间的夹角就是二面角的平面角。

如图，过点P作D1M的平行线交BC于点Q、交B1C1于点E，连接MQ，

则PN是平面D1PM与平面BCC1B1的交线，MN是平面D1PM与平面ABCD的交线。

EF与BB1平行，交BC于点F，过点F作FG垂直MQ于点G，则有，MQ与平面EFG垂直，

所以，EG与MQ垂直，即角EGF是平面D1PM与平面ABCD的夹角的平面角，

且sin∠EGF=EF/EG

MN与CD平行交BC于点N，过点N作NH垂直EQ于点H，同上有：

sin∠MHN=MN/MH

且有∠EGF=∠MHN，又因为EF=MN=AB，故，EG=MH

而2*S△EMQ=EG*MQ=MH*EQ，故，MQ=EQ，

而四边形EQMD1一定是平行四边形，故它还是菱形，即，点E一定是B1C1的中点，

所以，离C1最近时，P点一定是B1C1的中点。答案选C

追答

抱歉，没审好题，以为点P只能在正方形BCC1B1内，实际求的应该是点C1到直先B E的距离，算出来确实选A。

抱歉，没审好题，以为点P只能在正方形BCC1B1内，实际求的应该是点C1到直线B E的距离，算出来确实选A。

追问

1、感谢您的回答。您在开头的地方出现了笔误。如上图。

2、我们知道到了EQMD1是菱形后，可以确定，点E只能在直线B1C1上距离点C1为1个单位长度的地方，这样的点只有两个。而点P只能在直线EQ上，所以这样的直线EQ也只有两条。点P到点C1的最短距离应该就是点C1到直线EQ的距离，可是这个距离要怎么计算呢？

追答

关于笔误是我没有检查就提交了，对不起。

由菱形可得出E是B1C1的中点，且Q与B重合。那么，点C1到直线B E的距离其实就是点B1到直线B E的是距离。即，求直角三角形BE B1在斜边上的高

E点位置的确有两个：B1C1中点；在B1C1方向延长线上找到E满足C1E=1。两种情况的最终结果相同。