Question

曲面积分，斯托克斯公式问题

求解，算不出来。书上答案是12π
计算曲面积分∫∫ΣrotA·dS,其中A＝(x－z,x∧3＋yz,－3xyz),Σ为锥面z＝2－√(x∧2＋y∧2)在xOy面上方的部分(z≤2),取上侧

Answer 1

rotA=(-3xz-y,-1+3yz,3x^2)
然后
原积分=∫∫(-3xz-y)dydz+(-1+3yz)dzdx+3x^2dxdy
补上z=0处投影，圆x^2+y^2=4的下侧∑，形成闭曲面M，就能用高斯定理了。
原积分=∫∫(M-∑) (-3xz-y)dydz+(-1+3yz)dzdx+3x^2dxdy
=∫∫∫(-3z+3z+0)dV- ∫∫∑ (-3xz-y)dydz+(-1+3yz)dzdx+3x^2dxdy
＝0-[-∫∫3x^2dxdy]
=∫∫3x^2dxdy
=(3/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy
=(3/2)∫∫r^2 rdrdθ
=12π

追问

十分感谢，以后有问题还可以来请教您吗？

追答

可以，欢迎。