高等数学题目8 20
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条件极值问题。由对称性，只讨论第一卦限1/8椭球内接的1/8长方体即可。
设内接长方体在第一卦限的顶点 A(x,y,z), 则 x>0, y>0, z>0.
内接长方体的体积 V=8xyz， 条件是 x^2+y^2+9z^2=1.
构造拉格朗日函数 L = xyz + k(x^2+y^2+9z^2-1),
L'<x>=0, yz=-2kx ①
L'<y>=0, xz=-2ky ②
L'<z>=0, xy=-18kz ③
L'<k>=0, x^2+y^2+9z^2=1. ④
①/②, 得 y=x ⑤
①/③, 得 x=3z ⑥
代入④， 得 27z^2=1, z=√3/9， 则 x=y=√3/3
得 V = 8xyz = 8√3/27.
设内接长方体在第一卦限的顶点 A(x,y,z), 则 x>0, y>0, z>0.
内接长方体的体积 V=8xyz， 条件是 x^2+y^2+9z^2=1.
构造拉格朗日函数 L = xyz + k(x^2+y^2+9z^2-1),
L'<x>=0, yz=-2kx ①
L'<y>=0, xz=-2ky ②
L'<z>=0, xy=-18kz ③
L'<k>=0, x^2+y^2+9z^2=1. ④
①/②, 得 y=x ⑤
①/③, 得 x=3z ⑥
代入④， 得 27z^2=1, z=√3/9， 则 x=y=√3/3
得 V = 8xyz = 8√3/27.
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