Question

求极限，lim（x→0）（（ln（x＋√（1+x∧2）））/x）∧1/x∧2

求极限，lim（x→0）（（ln（x＋√（1+x∧2）））/x）∧1/x∧2答案为e∧-1/6

Answer 1

令f(x)=ln(x+√(1+x²))，可得f′(x)=1/√(1+x²)，limf(x)/x=1，故
lim=e^limln(f(x)/x)/x²
=e^lim(f(x)/x-1)/x²
=e^lim(f(x)-x)/x³
=e^lim(1/√(1+x²)-1)/3x²
=e^lim(1-(1+x²))/3x²√(1+x²)(1+√(1+x²))
=e^lim-1/3√(1+x²)(1+√(1+x²))
=e^(-1/6)