Question

cosx的平方-1的等价无穷小是要怎么算

Answer 1

用泰勒公式将cosx在x0=0处展开得：

cosx=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n... 

从而1-cosx=x^2/2-x^4/4+x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n... 

故x^2/2是1-cosx的主部。

所以lim[(1-cosx)/(x^2/2)]=1（x→0），由等价无穷小量的定义可知1-cosx与x^2/2为等价无穷小量，即cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小量。

同角三角函数

（1）平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

（2）积的关系：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

Answer 2

cosx-1和-(x²)/2是等价无穷小量。

解：cosx在x0=0处展开得cosx=1-x²/2+x⁴/4-x⁶/6+...+(-1)ⁿx²ⁿ/2n... ，即1-cosx=x²/2-x⁴/4+x⁶/6+...+(-1)ⁿx²ⁿ/2n...，所以lim[(1-cosx)/(x²/2)]=1（x→0），因为1-cosx与x²/2为等价无穷小量，所以cosx-1和-(x²)/2是等价无穷小量。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

Answer 3

因为1-cos(x)~x^2/2
所以1-cos(x^2)~(x^2)^2/2=x^4/2
若你指的是1-(cosx)^2
就先展开里面的，然后平方，看指数最小的项
~1-(1-x^2/2)^2=1-(1-x^2+O(x^4))=x^2+O(x^4)

Answer 4

(Cosx)^2+（sinx）^2=1
(cosx)^2-1=-(sinx)^2
等价于-x^2