Question

y=ln(2+cosx)的有界性，周期性，奇偶性

Answer 1

u=2+cosx, y=lnu
1≤u≤3,0≤y≤ln3<2, |y|<2,2是函数y的一个界，y是有界函数。
函数y的定义域为R，T=2π。y是周期函数。
f(-x)=ln(2+cos(-x))=ln(2+cosx)=f(x),y是偶函数。

Answer 2

∵2+cosx≥1
∴f(x)定义域为x∈R
∵f(x+2kπ)=ln[2+cos(x+2kπ)]=ln[2+cos(x)]=f(x)
∴f(x)是最小正周期为2π的周期函数

Answer 3

首先，随着x向正负无穷大变化，函数值也向正负无穷大变化，所以这个函数是无界函数。
因为这个函数x任取两个值x1＞x2，都有[x1]≥[x2]，所以的单调增函数，但是这个函数是一段一段的平行于x轴的线段。设k为整数，那么当k≤x＜k+1时，[x]都相等，所以不是严格单调增函数。
因为对于任何非零实数k，都不满足[x]=[x+k]恒成立，理由如下：
如果k大于1或x小于-1，那么[x]和[x+k]必然不相等。
如果0＜k＜1，那么当1-k＜x＜1时，[x]和[x+k]不相等。
如果-1＜k＜0，那么k＜x＜0时，[x]和[x+k]不相等。
所以取整函数不是周期函数。