Question

求根号下1-x^2的不定积分

Answer 1

结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

x = sinθ，dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

拓展资料

这个根号下的不定积分，符合模型∫√a²-x² dx，本题中就是a=1的情况。根据sin²x+cos²x=1，用sinθ替换x，然后被积函数，被积变量都要改变。

要做出如图所示的三角形，更容易加深理解。最后要把中间变量θ变回x

Answer 2

∫ dx/[x√(1+x²)]， x=tanz，dx=sec²zdz，z∈(π/2，π/2) sinz=x/√(1+x²)，cosz=1/√(1+x²) 原式= ∫ sec²z/tanz*secz] dz = ∫ (1/cosz * cosz/sinz) dz = ∫ cscz dz= ln|cscz - cotz| + C = ln|√(1+x²)/x - 1/x| + C ...

Answer 3

设x = sinθ (0＜θ＜π/2)，
dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx
= ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ)
= ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ
= θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C