Question

关于一元二次方程根与系数的关系的问题

已知关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+k²=0有两个实数根x1，x2

问：是否存在实数k使得x1乘x2-x1²-x2²大于等于0成立？若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由。

注：x1的1本来应该是写在x右下面的小1，只不过不知怎么打出来。
不好意思，打错了。
问题是x²-（2k+1）x+k²+2k=0
其他跟下面一样

Answer 1

答：
x^2-(k+1)x+k^2=0有两个实数根x1和x2
根据韦达定理和判别式有：
x1+x2=k+1
x1*x2=k^2
判别式=(k+1)^2-4k^2>=0
所以：(k+1-2k)(k+1+2k)>=0
所以：(k-1)(3k+1)<=0
解得：-1/3<=k<=1

x1*x2-(x1)^2-(x2)^2>=0
(x1)^2+(x2)^2-x1*x2<=0
(x1+x2)^2-3x1*x2<=0
所以：

(k+1)^2-3k^2<=0
所以：(k+1)^2<=3k^2
因为：(k+1)^2>=4k^2
所以：4k^2<=(k+1)^2<=3k^2
k=0时，上述不等式不成立
k=-1时，上述不等式也不成立
所以：不存在满足题意的实数k

追问

不好意思，打错了。
问题是x²-（2k+1）x+k²+2k=0
其他跟下面一样

追答

答：
x^2-(2k+1)x+k^2+2k=0有两个实数根x1和x2
根据韦达定理和判别式有：
x1+x2=2k+1
x1*x2=k^2+2k
判别式=(2k+1)^2-4(k^2+2k)>=0
所以：4k^2+4k+1-4k^2-8k>=0
所以：4k=0
(x1)^2+(x2)^2-x1*x2<=0
(x1+x2)^2-3x1*x2<=0
所以：
(2k+1)^2-3(k^2+2k)<=0
所以：4k^2+4k+1-3k^2-6k<=0
因为：k^2-2k+1<=0
解得：k=1
这与k<=1/4矛盾
所以：不存在满足题意的实数k

追问

(x1+x2)^2-3x1*x2<=0

为什么会多了一个3？

追答

(x1)^2+(x2)^2-x1*x2<=0

(x1)^2+2x1*x2+(x2)^2 -3x1*x2<=0

追问

真的弄不懂为什么x1乘以x2会变成-3x1乘以x2

追答

-3+2=-1

Answer 2

中学数学里的根与系数之间的关系又称韦达定理，指的是如果方程ax平方+bx+c=0（a不等于0）的两根为x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a.需要说明的是，必须保证满足：（1）a不等于0，（2）判别式大于等于0.
韦达定理通常解决一些已知方程求两根的某种运算，如方程x平方+5x-10=0的两个根分别是x1、x2，不解方程求1/x1+1/x2；x1平方+x2平方；x1立方+x2立方等；已知方程两个根的某种关系求方程中的待定系数；解决直线与圆锥曲线的交点问题，弦长问题等.是中学数学中一个非常重要的关系.它的一般结论是一元n次方程中根与系数的关系，大学里才学习.
是否可以解决您的问题？

追问

我问的是已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0
有两个实数根x1，x2

问：是否存在实数k使得x1乘x2-x1²-x2²大于等于0成立？若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由。