Question

高中基本不等式问题

1` 设X Y是满2X+Y=20的正数,则 lgX+lgY的最大值是?
2` 函数f(x)=√X／(X+1)的最大值是?
3`a b c 属于R+ 则(a+b+c)(1／(a+b)+1／c)的最小值是?
4`已知梯形ABCD的中位线与高的和为2,则此梯形面积的最大值是?
5`在Rt△ABC中,∠A=90° AD是斜边BC上的高 且AD=1 则斜边BC的长的最小值是?
6`扇形的周长是10,则该扇形的面积的最大值是?
问题很多..全部都能解开最好 希望过程清晰 易懂 尽量使用不等式解出 谢谢

Answer 1

1.2x+y=20 y=20-2x
lgx+lgy=lgx*y=lg(20-2x)*x=lg(2*(10x-x^2))
因为f(x)=lgx是增函数（别问我为什么），而10x-x^2是一个抛物线，所以想要得到lg(2*(10x-x^2))的最大值就需要让10x-x^2的值最大，
由此可知，当x=5时，10x-x^2有最大值25（过程应该会，求导法或公式法起码应该学过一个），
得到lg(2*(10x-x^2))的最大值为lg50
过程中x、y的取值范围没有注明，实际计算时都应该有。
2.感觉题给的有问题
令y=f(x),可得y=(x/(x+1))^(1/2)（这个式子等于你给的那个式子，打不出来根号，凑合看吧），
可知y>=0,x>=0,
则可得y^2=x/(x+1)=(x+1-1)/(x+1)=1-1/(x+1)，
由此可知，当1/(x+1)取值最小时，y^2有最大值，即y也有最大值（y^2在y>=0时是增函数），
即x趋近于无穷大的时候，上式的最大值趋近于1

Answer 2

解：1.2-lg2.解法：
20＝2X+Y≥2√2xy,xy≤50，lgx+lgy≤lg(xy)=lg50=2-lg2,
2.1/2.解法：
x+1≥2√x，于是√x/（x+1)≤1/2
3.4.解法：
根据基本不等式得(a+b+c)(1／(a+b)+1／c)
＝[(a+b)+c]^2(1／c(a+b)≥4(a+b)c*(1／c(a+b)=4
4.1.解法：
设中位线长为a，高为h,由已知得2＝a+h≥2√ah,∴ah≤1
从而梯形的面积ah的最大值为1
5.√2.解法：
设两两直角边长分别为a,b,由已知得ab/√ab=1,从而得
ab=1,于是斜边为√a^2+b^2≥√2ab=√2
6.25/4.解法：
设扇形绵长为a，半径为r，则由已知得10=a+2r≥2√2ar,ar≤25/2,
扇形的面积为1/2ar≤25/4

Answer 3

均值不等式啦，这打起来比较麻烦。