Question

关于泰勒公式求极限在应用中的疑问

关于泰勒公式求极限在应用中的疑问请看以下三图

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Answer 1

如图

Answer 2

恩。其实就是二项式的变异形式啊。
(a+b)^n的展开式还记得不？
=a^n+C(1,n)a^(n-1)b+C(2,n)a^(n-2)b^2+...+C(k,n)a^(n-k)b^k+...+b^n
不管n是分式，还是小数。都是满足的，
针对此题，a=1, b=3/x, n=1/3
带入
=1^(1/3)+C(1,1/3)1^(1/3-1)*(3/x)+C(2,1/3)1^(1/3-2)(3/x)^2+...+C(k,1/3)1^(1/3-k)(3/x)^k+...+(3/x）^（1/3）
=1+1/3*1*(3/x)+1/3*(1/3-1)/2!*(3/x)^2+o((3/x)^3)
=1+1/3*3/x+1/3*(-2/3)/2*(3/x)^2+o((3/x)^3)
=1+1/x-1/9*(3/x)^2+o((3/x)^3)
总结，不要管指数是什么分式，小数，直接用二项式定理！
不过，使用Talyor级数展开也没问题
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0）+f''(x0)/2!(x-x0)^2+...f(^n)(x0)/n!(x-x0)^n