Question

当k为何值时，反常积分∫［上+∞，下2］dx／x（lnx）^k收敛？当k为何值时，这反常积分发散？

当k为何值时，反常积分∫［上+∞，下2］dx／x（lnx）^k收敛？当k为何值时，这反常积分发散？又当k为何值时，这反常积分取得最小值？

Answer 1

∫(上限为正无穷，下限为2)1/x*（lnx)^kdx

=∫1/（lnx)^k d lnx (x上限为正无穷，下限为2)

=1/(1-k)∫d(lnx)^(1-k) (x上限为正无穷，下限为2)

=[1/(1-k)]*[(ln正无穷大)^(1-k)-1]

若广义积分收敛，所以1-k小于0

所以k大于1

若广义积分发散，k小于等于1

当k=1时取最小值

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。

扩展资料：

对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。

当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

参考资料来源：百度百科——反常积分

Answer 2

∫(上限为正无穷,下限为2)1/x*（lnx)^kdx
=∫1/（lnx)^k d lnx (x上限为正无穷,下限为2)
=1/(1-k)∫d(lnx)^(1-k) (x上限为正无穷,下限为2)
=[1/(1-k)]*[(ln正无穷大)^(1-k)-1]
若广义积分收敛,所以1-k小于0
所以k大于1
若广义积分发散,k小于等于1
当k=1时取最小值

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示