Question

根据数列的极限定义证明

根据数列的极限定义证明求解1.（3）（6）
3.

Answer 1

(3)要使|√(n²+a²)/n-1|<E
对绝对值内部进行整理
[√(n²+a²)-√n²]/n
=a²/n[√(n²+a²)+√n²]
<a²/n(√n²+√n²)
=a²/2n²
要使|√(n²+a²)/n-1|<a²/2n²<E
只要n²>a²/2E
∴取N=[√(a²/2E)],则当n>N时,|√(n²+a²)/n-1|<E成立,∴lim(n→∞)√(n²+a²)/n=1

(6)裂项之後得到要证明lim(n→∞)1-1/n=1
取N=[1/E]即可

3.∵{xn}有界,∴存在M>0,使|xn|<M
又∵lim(n→∞)yn=0,∴对任意E/M>0,存在正整数N,当n>N时,|yn-0|<E/M
∴当n>N时,|xnyn-0|=|xn||yn|<M*E/M=E
即lim(n→∞)xnyn=0

Answer 2

4月下旬，在虹桥，上海国家会展中心就有个很大的车展。