Question

高中数学 椭圆

过点P（1，1）作椭圆X^2/4+Y^2/2=1的弦AB，则AB中点的轨迹方程是？
最好有这一类题的解题思路

Answer 1

这个有一个结论
设直线AB的斜率是k,线段AB的中点是（y0,x0）椭圆长半轴为a,短半轴为b
则y0/x0=-b^2/(a^2×k)
证明如下：
设A（x1,y1）B(x2,y2)
带入椭圆方程 x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减 x1^2/a^2-x2^2/a^2+y1^2/b^2 -y2^2/b^2=0
（x1+x2）（x1-x2）/a^2+（y1+y2）（y1-y2）/b^2=0
( y1+y2)/(x1+x2)=-b^2(x1-x2)/[a^2(y1-y2)]
因为k=(y1-y2)/(x1-x2) y1+y2=2y0,x1+x2=2x0
所以y0/x0=-b^2/(a^2×k)
双曲线也有类似的结论 去掉负号 可自行证明
这道题即为 y/x=-1/2k=-1/2[(y-1)/(x-1)] 再整理

Answer 2

直线过P点的直线可以设为

y = kx -k
设A(x1,y1) , B(x2,y2),中点D（x,y）

那么 x=(x1+x2)/2 , y= k(x1+x2)/2+b

联立直线方程和椭圆方程，消去y，可以得到一个x的二次方程

那么 根据韦达定理，不用解方程可以直接得到 x1+x2

那么可以得到 x ，y的关于k的参数方程

消去k可以得到 中点的轨迹方程

具体计算过程我就不在这里罗嗦了，

有问题随时可以给我消息

【中学数理化解答团】