Question

设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a，底面边长与侧棱长之比为根号3:根号2,经过底面的对角线BD作平行于侧棱PA的

设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a，底面边长与侧棱长之比为根号3:根号2,经过底面的对角线BD作平行于侧棱PA的平面，截棱PC于E 求：1.截面EBD与底面所成二面角的大小 2.截得的三棱锥E-BDC的体积

Answer 1

连结底正方形对角线AC和BD，交于O，连结BE、DE，OE，，
PA=PB=PC=PD，
CD/PC=√3/√2，
PC=√6a/3,
O是AC中点，AP//平面BDE，
故AP//OE，
则OE是三角形APC中位线，
OE=AP/2=√6a/6，
CO=√2a/2，
CE=PC/2=√6a/6，
DE=BE，
O是BD中点，
故EO⊥BD，
CO⊥BD，
〈EOC是二面角E-BD-C的平面角，
在三角形EOC中，根据余弦定理，
cos<EOC=(OE^2+OC^2-EC^2)/(2EO*EC)=√3/2,
<EOC=30度，EBD与底面所成二面角为30度。
连结PO，则PO⊥平面ABCD，
作EH⊥OC，EH//PO，
则EH⊥平面BDC，
EH=OE*sin<EOC=√6a/6/2=√6a/12,
S△BDC=a^2/2,
V三棱锥E-BDC=（a^2/2）*（√6a/12）/3
=√6a^3/72.