Question

求幂函数e的x次方在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间

Answer 1

lim（n→∞）｜x｜／（n＋1）＝0

因为e＾x＝1＋x＋x＾2／2！＋x＾3／3！＋...＋x＾n／n！，n→∞

lim（n→∞）｜u（n＋1）／u（n）｜＝lim（n→∞）｜（x＾（n＋1）／（n＋1）！）／（x＾n／n！）｜＝lim（n→∞）｜x｜／（n＋1）＝0

收敛区间为xr＝∈（－，∞＋∞）。

绝对收敛级数：

一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。

对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。

Answer 2

因为e＾x＝1＋x＋x＾2／2！＋x＾3／3！＋...＋x＾n／n！，n→∞

lim（n→∞）｜u（n＋1）／u（n）｜＝lim（n→∞）｜（x＾（n＋1）／（n＋1）！）／（x＾n／n！）｜＝lim（n→∞）｜x｜／（n＋1）＝0

收敛区间为xr＝∈（－，∞＋∞）。

扩展资料：

收敛半径r为非负的实数或无穷大的数，在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。

在｜z－a｜＝r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。两个幂级数相除的结果仍是幂级数。逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

Answer 3

这是最基本的公式：
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+....
收敛域为R