Question

在三角形ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,三角形ABCD的

在三角形ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,三角形ABCD的面积为6，D为三角形内的任一点，点D到三边距离之和为d,(1)、求sinA (2)求b、c (3)求d取值范围

Answer 1

(1)解：因为 a^2-c^2=b^2-8bc/5

           所以 8bc/5=b^2+c^2-a^2

          所以  4/5=(b^2+c^2-a^2)/2bc

            由余弦定理：cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=4/5

                所以， sinA=3/5

(2)  解：因为 S△ABC=(bcsinA)/2=6

             所以 bc=20  

              又因为 a=3, a^2-c^2=b^2-8bc/5

                   所以 b^2+c^2=41

                     又因为   b^2*c^2=400

             所以 b^2、c^2恰好是一元二次方程 X^2－41X+400=0的两根

                (X-16)(X-25)=0

                    所以 X1=16  , X2=25   即：b^2=16  c^2=25 或b^2=25  c^2=16

                       所以，b=4 、c=5 或 b=5、c=4

(3) 由(2)知△ABC为直角三角形

   以Rt△ABC的两直角边为x轴、y轴 如图：直线AB所在的方程：3x+4y-12=0

           z=(12-3x-4y)/5  （用点到直线的距离公式）

           所以，d=x+y+z=2x/5+y/5+12/5---------------------（*）

              利用线性规划求d得最大值和最小值

       将点C(0,0)  A(4,0) B(0,3)分别代入（*）式

                 得：d=12/5 =2.4 ; d=4 ; d= 3

                          因为点D在三角形内，所以  2.4<d<4 

                   所以d得取值范围：2.4<d<4

Answer 2

单机看大图

Answer 3

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